Lösungsansätze zum Scheck-Rätsel

Das Rätsel

"Ein Mann erhielt einen Scheck, bei dem Pfund- und Pence-Betrag vertauscht eingetragen waren.
Er löste den Scheck ein, gab 5 Pfund und 42 Pence aus und stellte dann fest, dass nun genau sechs mal soviel übrig blieb, wie der Betrag des Schecks korrekterweise gewesen wäre.
Wie lautet der Betrag des korrekten Schecks?"

Die Lösung

Der Betrag auf dem korrekten Scheck wäre 6 Pfund und 44 pence gewesen.

Der Mann hatte dank dem falschen Scheck £ 44.06.
Er gab £ 5.42 aus, also blieben ihm £ 38.64

Dies ist der sechsfache Betrag des korrekten Schecks: 6 x £ 6.44 = £ 38.64

Ansätze

Mein (komplizierter) Ansatz:

Korrekter Scheck: x Pfund + y pence = (100x + y) pence
Falscher Scheck: y Pfund + x pence = (100y + x) pence

Falscher Scheck - 542 = 6 * Korrekter Scheck
100y + x - 542 = 6 * (100x + y)

=> 100y + x - 542 = 600x + 6y
=> 94y-599x=542

Nach x "vereinfachen":
599x=94y-542
=> x=(94y-542)/599

Nach y "vereinfachen":
94y=599x+542
=> y=(599x+542)/94

Soweit ist alles klar.

Das ist aber nur eine einzige Gleichung mit zwei Unbekannten, und ich denke, man kommt so nicht weiter.

Mit anderen Worten: es ist mir nicht klar, wie man aus dieser einzigen Gleichung *ohne Ausprobieren* darauf kommen sollte, dass
x=6 und y=44

Man weiss zwar implizit noch so einiges mehr, nämlich z.B.:

x und y sind ganze positive Zahlen zwischen 1 und 99, und y ist grösser als x.

• y>x
• x>0, x<99
• y>1, y<100

x=(94y-542)/599 (s. oben)
Weil x eine ganze Zahl sein muss, muss also auch der Term (94y-542)/599 eine ganze Zahl sein, d.h.
(94y-542) geteilt durch 599 ergibt [irgendetwas], Rest Null
In Computer-Deutsch:
(94y-542) MOD 599 = 0
oder
94y MOD 599 = 542

"Das y-fache von 94 ist um 542 grösser als ein vielfaches von 599."

Verifizierung dieser Aussage:
44 * 94 = 4136
4136 = 6*599 + 542

Faktorenzerlegung:
94 = 2 * 47
542 = 2 * 271
599 = Primzahl
kgV von 94 und 599: 56306

Ab hier fehlen mir die Inspiration und/oder das Wissen, wie man Ungleichungen und andere Aussagen mit der Gleichung kombinieren könnte.

Der Ansatz von Silvia

"Ich habe keine Algebraische Lösung, aber mit 2 Gedanken das Ausprobieren auf 7 Möglichkeiten beschränkt.

Mit der Gleichung y=(542+x*599)/94 steht fest, dass x gerade sein muss.

Da y<100 ist, muss x <16 sein.

Bleiben also noch 7 Möglichkeiten..."

Dieses Rätsel schickte mir eine Freundin, Yasmin, per E-Mail. Weder sie noch ich schafften es, die Lösung mit Algebra und Logik zu finden, und seit dem Mail von Silvia bezweifle ich, dass es überhaupt eine algebraische Lösung gibt.

Wenn jemand die Lösung ohne Ausprobieren, sondern mit Überlegen, Logik und Algebra gefunden hat, wäre ich sehr froh um den Lösungsweg! Bitte per Mail an luthi@my-mail.ch